Diario delle lezioni

19/12 Esercitazione.

16/12 Estensione di campi: elementi algebrici e trascendenti. L'anello $K[\alpha]$ quando $\alpha$ è un elemento algebrico su $K$. Campi finiti: costruzione.

12/12 Se $A$ è UFD, allora anche $A[X]$ è UFD: dimostrazione. L'anello $\mathbb Z[\sqrt{d}]$ e i suoi elementi invertibili.

9/12 Polinomi primitivi nell'anello $A[X]$, dove $A$ è un UFD. Lemma di Gauss generalizzato. 

5/12 Domini a ideali principali (PID). Un PID è un dominio di Bezout ed è UFD . Domini Euclidei (ED). Esempi: $\mathbb Z, K, \mathbb Z[i]$. Divisione col resto in $\mathbb Z[i]$.

2/12 Significato del MCD e dell'Identità di Bezout a livello di ideali del dominio D. Minimo Comune Multiplo. Collegamenti fra MCD e mcm di due elementi. Lemma di Euclide negli anelli con il MCD. I domini UFD hanno il MCD. Caratterizzazione degli UFD tramite le catene ascendenti di ideali principali.

25/11 Campo dei quozienti di un anello commutativo e integro. Caratteristica di un anello. Relazione di divisibilità fra elementi in un dominio. Elementi primi, irriducibili e associati. Definizione di MCD e domini a Fattorizzazione Unica (UFD). Caratteristica di un anello.

21/11 I tre teoremi di omomorfismo per gli anelli. Corrispondenza di sottoanelli e ideali tramite un omomorfismo di anelli. La proiezione di un anello su un ideale bilatero. Corrispondenza fra ideali primi e massimali tramite un omomorfismo di anelli.

17/11 Ideale massimale in un anello commutativo unitario: definizione e caratterizzazione come quoziente. Relazioni fra ideali primi e massimali. Esempi di cosa succede in anelli non unitari. Omomorfismi di anelli: definizione e prime proprietà.

14/11 Ideali di un anello (destri, sinistri e bilateri). Relazioni compatibili in un anello e relazione con ideali bilateri. Anello quoziente. Esempi. Ideale primo in un anello commutativo: definizione e caratterizzazione come quoziente.

11/11 Anelli: definizione e prime proprietà. Divisori dello zero, elementi invertibili. Domini finiti sono campi. Sottoanelli.

31/10 Esercitazione in classe.

28/10 Normalizzante di un sottogruppo $H$ e sue relazioni con i coniugati di $H$. Prodotto diretto di gruppi. Esempi di alcune classificazioni di gruppi finiti (gruppi di ordine 12 e 8).

24/10 Classi di coniugio in $S_n$. Automorfismi di un gruppo e automorfismi interni.

21/10 Calcolo del numero di orbite di un'azione (teorema di Burnside). Esempi. Equazione delle classi. Gruppi di cardinalità $p^2$ sono abeliani. Il centro di un $p$-gruppo finito è non banale. Teorema di Cauchy sull'esistenza di un elemento di ordine $p$ in un gruppo finito $G$ tale che $p \mid \mid G \mid$.

17/10 Secondo e terzo Teorema di omomorfismo per i gruppi. Azione di un gruppo $G$ su un insieme $X$: prime proprietà ed esempi. L'orbita di un'azione, calcolo della sua cardinalità.

13/10 Teorema Fondamentale di Omomorfismo per i gruppi: esempi e applicazioni. Classi di isomorfismo per i gruppi ciclici. Teorema di corrispondenza dei sottogruppi tramite un omomorfismo.

10/10 Proprietà sottogruppi normali e loro classi laterali. Inversione teorema sui gruppi ciclici riguardo l'esistenza di un unico sottogruppo per ogni divisore dell'ordine.

7/10 Omomorfismi di gruppi. Relazioni di equivalenza compatibili in un gruppo e loro rapporto con i sottogruppi normali. Relazione di coniugio. Criterio di normalità di un sottogruppo tramite l'utilizzo degli elementi coniugati.

3/10 Relazione di congruenza destra e sinistra rispetto ad un sottogruppo. Classi laterali di un sottogruppo. Teorema di Lagrange e suoi corollari. Isomorfismi di gruppi. Teorema di Cayley. Omomorfismi di gruppi.

30/9 Gruppi di permutazioni: richiami su definizioni e proprietà. Gruppi diedrali.

26/9 Ordine di un elemento: prime proprietà. Sottogruppi. Sottogruppi generati da un insieme X. Sottogruppi di un gruppo ciclico: struttura e cardinalità.